\section{Introducci\'on Te\'orica}
La compresi\'on de imagenes es un tema amplio en ciencias de la computaci\'on, existiendo mucha variedad entre las distintas t\'ecnicas de compresi\'on y algoritmos. Nosotros veremos la t\'ecnica que usa los autovalores de la matriz que se determina con la imagen que se quiere comprimir, junto con una factorizaci\'on de matrices llamada descomposici\'on de valores singulares.

Para obtener la descomposici\'on de valores singulares, es necesario conocer antes la factorizaci\'on $QR$.
Sea $A \in \Re^{nxm}$ una matriz, $A$ siempre se puede escribir de la forma
$$A = QR$$
donde $Q \in \Re^{mxn}$ es una matriz ortonormal y $R \in \Re^{nxn}$ es una matriz triangular superior.

La factorizaci\'on $QR$ se puede determinar por medio de tres m\'etodos: Rotaciones, Householder \ref{hh} o Gram-Schmidt. Nosotros utilizaremos el m\'etodo de Householder.

El m\'etodo de Householder, tambi\'en conocido como m\'etodo de reflexi\'on, consiste en calcular la matriz que se obtiene de $I - 2uu^{t}$ y multiplicar la matriz $A$ por esa matriz. Esta operaci\'on la primera vez que se hace dara como resultado el primer vector columna de $A$ con todos los elementos en cero menos el primero. En la iteracion $i$ se vera que $A$ esta triangulada hasta la posicion $i$ y asi sucesivamente.
\begin{center}
\includegraphics{./graficos/hh1.png}
\end{center}
$A'$ es la submatriz de $A$ que falta triangular.

$$R = Q_t \cdots Q_2Q_1A$$
$$Q = Q_1Q_2 \cdots Q_t$$

Veamos ahora como se forma el vector $u$. Sea $x$ un vector columna de $A$.
$$y = ||x||_2 e_i$$
$$v = x + y$$
$$u = \frac{x - y}{||x-y||_2}$$

Donde $e_i$ es el vector canonico con un uno en la posici\'on $i$. Esto mismo se hace para todas las columnas de $A$.

La descomposici\'on de valores singulares \ref{svd} consiste en dada una matriz $A \in \Re^{nxm}$, se puede escribir como:

$$A = U \sum V^{t}$$

donde $U \in \Re^{nxm}$ es ortonormal, donde $\sum \in \Re^{mxm}$ contiene los valores singulares y donde $V \in \Re^{mxm}$ es ortonormal.

Volviendo a la idea de comprimir una imagen, cuando obtenemos la imagen en forma de matriz (donde cada posici\'on de la matriz tendra un valor que representa el color de la imagen), la llamaremos $A$, buscamos su descomposici\'on de valores singulares. Una vez que tenemos las matrices $U, \sum, V^{t}$ se determina un valor $k \in \natural$ tal que que las matrices que forman la descomposici\'on de valores singulares queda de la forma $\tilde{U} \in \Re^{nxk}$, $\tilde{\sum} \in \Re^{kxk}$ y $\tilde{V} \in \Re^{mxk}$.

$$\tilde{A} = \tilde{U} \tilde{\sum} \tilde{V^{t}}$$

Con lo cual, la matriz $\tilde{A}$, va a ser una matriz tan parecida a $A$ dependiendo el $k$ que se le pase. A su vez el valor $k$ determina si va a pesar menos la imagen, pues $\tilde{A}$ va a tener menos informacion de la que tenia originalmente $A$, dando como resultado que ocupe menos espacio.
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